וידאו · משוואה טריגונומטרית
ב5. משוואה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בפתרון משוואות טריגונומטריות מסוג סינוס וקוסינוס, תוך הדגשה על הוצאת גורם משותף, יצירת מכפלות, ושימור התחום והמשמעות של הפתרונות.
- לזהות ולפתור משוואות טריגונומטריות
- להוציא גורם משותף במשוואות טריגונומטריות
- להבין את חשיבות שמירת התחום והתחום המותר לפתרון
- להשתמש בשיטת העצבה ללפשט משוואות טריגונומטריות
- הוצאת גורם משותף ויצירת מכפלות: לימוד השיטה להוצאת גורם משותף במשוואות טריגונומטריות ליצירת מכפלות שיקל על מציאת הפתרונות.
- שימוש בשיטת העצבה: הצגה כיצד להשתמש בשיטת העצבה (הצבת משתנה ביניים) לפישור משוואות טריגונומטריות מסובכות שתוך כדי עבודה עם סינוס וקוסינוס.
תרגול קצר
פתרון משוואה טריגונומטרית בסיסית
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה: סינוס בריבוע X + סינוס X × קוסינוס X = 0.
רמז: הוצא גורם משותף וסדר למשוואת מכפלות.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = kπ או X = (3π/4) + kπ, כאשר k מספר שלם.
1. הוצא גורם משותף סינוס X: סינוס X × (סינוס X + קוסינוס X) = 0 2. לפי כפל לאפס, סינוס X = 0 או סינוס X + קוסינוס X = 0 3. פתח כל משוואה בנפרד ופתור עבור X.
פתרון משוואת סינוס מורכבת
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה: 2 × סינוס בריבוע X - 3 × סינוס X + 1 = 0.
רמז: השתמש בשיטת העצבה וייצג T = סינוס X, פתח משוואה ריבועית.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = π/6 + 2kπ, X = 5π/6 + 2kπ, ו-X = π/2 + 2kπ.
1. הצב T = סינוס X: 2T^2 - 3T + 1 = 0 2. פתר משוואה ריבועית לט T: (2T-1)(T-1)=0 3. T = 1/2 או T = 1 4. מצא X עבור סינוס X = 1/2 ו-סינוס X=1 לפי תחום ההגדרה.
תרגיל בסגנון בגרות בנושא משוואה טריגונומטרית
רמת קושי: בגרות
פתור את המשוואה: סינוס X + קוסינוס X = 0 בתחום 0 ≤ X < 2π.
רמז: העבר אגף אחד וכתוב ביטוי במונחים של טנגנס X.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = 3π/4 ו-X = 7π/4.
1. העבר אגף: סינוס X = - קוסינוס X 2. חלק ב-קוסינוס X (לא אפס בתחום): סינוס X / קוסינוס X = -1 3. יש טנגנס X = -1 4. פתר עבור X: X = 3π/4, X = 7π/4 במסגרת 0 ≤ X < 2π.
דרך הפתרון
פתרון משוואה טריגונומטרית בסיסית
פתרון משוואת סינוס בריבוע X ועוד סינוס X כפל קוסינוס X שווה 0
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערכי X הפותרים את המשוואה
- נתון 1
נתון 1
סינוס בריבוע X + סינוס X × קוסינוס X = 0 - רעיון
הרעיון המרכזי
הוצא גורם משותף, פרק למשוואות של מכפלות, ופתור כל משוואה בנפרד.
- נוסחה
העבר אגף וחלק ב-קוסינוס X, מצא את X שמקיימים טנגנס X = -1.
tan X = -1X = -1 - משוואה
כתוב את המשוואה שסופקה.
כתוב את המשוואה שסופקה.
- פישוט
מצא את ערכי X שמקיימים סינוס X = 0.
מצא את ערכי X שמקיימים סינוס X = 0.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
צרף את כל הפתרונות שהתקבלו.
- בדיקה
בדיקה קצרה
- הוצאת גורם משותף כצעד קריטי
- רק לאחר הוצאת גורם משותף ניתן לפרק למשוואות מכפלות
- זהירות: לצמצם מוקדם מדי ולא להוציא גורם משותף
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
המשוואה הנתונה
זיהוי נתונים
המשוואה הנתונה
מה עושים
כתוב את המשוואה שסופקה.
למה
להבין את המשוואה שעליה נפתור.
סינוס בריבוע X + סינוס X כפול קוסינוס X שווה 0.
2בחירת שיטה
הוצאת גורם משותף
בחירת שיטה
הוצאת גורם משותף
מה עושים
הוצא סינוס X כגורם משותף מהביטוי.
למה
כדי לפרק את המשוואה ומאפשר פתרון פשוט יותר.
ניתן לכתוב: סינוס X × (סינוס X + קוסינוס X) = 0.
אל תצמצם אלא הוצא גורם משותף.
3בניית משוואה
פרוק למשוואות נפרדות
בניית משוואה
פרוק למשוואות נפרדות
מה עושים
עתה החזיר כל גורם לאפס ופתור כל משוואה בנפרד.
למה
כפל שווה לאפס אם לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס.
סינוס X = 0 או סינוס X + קוסינוס X = 0.
4פתרון
פתור עבור סינוס X = 0
פתרון
פתור עבור סינוס X = 0
מה עושים
מצא את ערכי X שמקיימים סינוס X = 0.
למה
משוואה טריגונומטרית סטנדרטית עם פתרונות מוכרים.
X = kπ כאשר k מספר שלם.
הפתרונות בקבוצה של כל כפולות פאי.
5פתרון
פתור עבור סינוס X + קוסינוס X = 0
פתרון
פתור עבור סינוס X + קוסינוס X = 0
מה עושים
העבר אגף וחלק ב-קוסינוס X, מצא את X שמקיימים טנגנס X = -1.
למה
המרה לטנגנס מפשטת את הפתרון.
טנגנס X = -1 => X = 3π/4 + kπ.
נוסחה / הצבה
tan X = -1X = -1בדוק תחום והכן תשובות מתאימות.
6תשובה
איחוד הפתרונות
תשובה
איחוד הפתרונות
מה עושים
צרף את כל הפתרונות שהתקבלו.
למה
כדי לקבל את כל הפתרונות למשוואה.
X = kπ או X = 3π/4 + kπ, כאשר k מספר שלם.
פתרונות כלליים
- פתרון משוואה טריגונומטרית בסיסית: 1. הוצא גורם משותף סינוס X: סינוס X × (סינוס X + קוסינוס X) = 0 2. לפי כפל לאפס, סינוס X = 0 או סינוס X + קוסינוס X = 0 3. פתח כל משוואה בנפרד ופתור עבור X.
- פתרון משוואת סינוס מורכבת: 1. הצב T = סינוס X: 2T^2 - 3T + 1 = 0 2. פתר משוואה ריבועית לט T: (2T-1)(T-1)=0 3. T = 1/2 או T = 1 4. מצא X עבור סינוס X = 1/2 ו-סינוס X=1 לפי תחום ההגדרה.
- תרגיל בסגנון בגרות בנושא משוואה טריגונומטרית: 1. העבר אגף: סינוס X = - קוסינוס X 2. חלק ב-קוסינוס X (לא אפס בתחום): סינוס X / קוסינוס X = -1 3. יש טנגנס X = -1 4. פתר עבור X: X = 3π/4, X = 7π/4 במסגרת 0 ≤ X < 2π.