וידאו · משוואה טריגונומטרית
ב1. משוואה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור על פתרון משוואות טריגונומטריות מסוג סינוס תוך שימוש במחשבון, הבנת התוצאה המוגבלת שהוא מציג, והשלמת הפתרונות הכלליים הכוללים סיבובים שלמים במעלות.
- להבין כיצד לפתור משוואות סינוס ב-360k+α ו-360k+180−α
- לתרגל שימוש במחשבון למציאת זווית α בעזרת שיפט סינוס
- להכיר כיצד לכתוב את קבוצה מלאה של פתרונות עבור משוואות סינוס
- לדעת לזהות מקרים ללא פתרון בהתבסס על תחום הערכים של הסינוס
- להימנע מטעויות נפוצות בהרמת משוואות עם זוויות ופונקציות טריגונומטריות
- פתיחת השיעור – שימוש במחשבון: הדגמה של חישוב השיפט סינוס במחשבון עבור ערכים פשוטים ודגמת המגבלות של המחשבון בפירוש הפתרונות.
- כתיבת הפתרון הכללי של משוואות סינוס: הצגת התבנית הכללית לפתרון משוואות סינוס: X = α + 360k ו-X = 180 − α + 360k, כאשר α מתקבל מהמחשבון ושם k הוא מספר שלם כלשהו.
- יישום על דוגמאות: פתרון ודוגמאות על ערכים שונים כמו חצי, שורש שליש ועוד, והסבר איך להוסיף את התיקונים הכלליים לכל פתרון שמחשב המחשבון נותן.
- טיפים בנושא תחום הפתרונות והגבלות המחשבון: הסבר על התחום של פונקציית הסינוס (ערכים בין -1 ל-1), ומה קורה כשאין פתרון במשוואה, על ידי דוגמאות של ערכים שאינם שייכים לתחום זה.
תרגול קצר
פיתרון משוואת סינוס פשוטה
רמת קושי: קל
מצא את כל הפתרונות של המשוואה סינוס X = 1/2 במעלות.
רמז: חשב את הזווית α = shift sin 1/2 ואז כתוב את הפתרון הכללי עם 360k.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = 30 + 360k או X = 150 + 360k, k ∈ Z
α = 30 מעלות הפתרונות הם X = 30 + 360k ו-X = 180 - 30 + 360k = 150 + 360k, כאשר k מספר שלם.
מציאת פתרונות למשוואה עם ערך שלילי
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה סינוס X = -√3/2 במעלות.
רמז: חשב α = shift sin (-√3/2) וכתוב פתרונות ב-360k יחד עם 180-α.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = -60 + 360k או X = 240 + 360k, k ∈ Z
α = -60 פתרונות: X = -60 + 360k ו-X = 180 - (-60) + 360k = 240 + 360k
דרך הפתרון
פתרון של סינוס X = 1/2 במעלות
כיצד למצוא את כל הפתרונות של משוואת סינוס
מפת פתרון
- מטרה
למצוא את ערכי X המתאימים במעלות עם כל הפתרונות
- נתון 1
סינוס של X שווה ל-1/2
- רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב תחילה את הזווית האלפא בעזרת שיפט סינוס, ונשתמש בתבנית הפתרון הכולל לכתיבת כלל הפתרונות
- נוסחה
כתב X = α + 360k ו- X = 180 - α + 360k
X = α + 360kX = 180 - α + 360kX = + 360kX = 180 - + 360k - משוואה
סינוס X = 1/2
סינוס X = 1/2
- פישוט
החלף α ב-30 מעלות
החלף α ב-30 מעלות
- תוצאה
מסיימים בתשובה
הפתרון הוא שתי סדרות הזוויות
- בדיקה
בדיקה קצרה
- זיהוי α מהמחשבון
- כתיבת הפתרון הכולל בתבנית 360k
- זהירות: השמטת פתרונות מהצורה 180 - α + 360k
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
משוואה נתונה
זיהוי נתונים
משוואה נתונה
מה עושים
סינוס X = 1/2
למה
זו המשוואה שעלינו לפתור
יש למצוא את כל הזוויות X עבורן סינוס X שווה 1/2
2בחירת שיטה
חשב α במחשבון
בחירת שיטה
חשב α במחשבון
מה עושים
חשב shift sin 1/2
למה
α הוא הזווית הראשונית המחשב נותן
המחשבון מחזיר α = 30 מעלות
חשוב לזכור שחייבים לחשב גם פתרונות נוספים מעבר ל-α בלבד
3בניית משוואה
תבנית כללית לפתרון
בניית משוואה
תבנית כללית לפתרון
מה עושים
כתב X = α + 360k ו- X = 180 - α + 360k
למה
פונקציית סינוס מחזירה אותו ערך ל-α ול-180-α, והוספת 360k מאפשרת כיסוי כל הסיבובים
כל ערך k שלם מייצג סיבוב נוסף של המעגל, מוחזר לאותו הערך של סינוס
נוסחה / הצבה
X = α + 360kX = 180 - α + 360kX = + 360kX = 180 - + 360k4פתרון
חשב ערכים
פתרון
חשב ערכים
מה עושים
החלף α ב-30 מעלות
למה
מציאת הפתרונות המפורטים במעלות
X = 30 + 360k ו-X = 150 + 360k
5תשובה
כתיבת הפתרון הכולל
תשובה
כתיבת הפתרון הכולל
מה עושים
הפתרון הוא שתי סדרות הזוויות
למה
כדי לכסות את כל הפתרונות האפשריים במשוואה
X = 30 + 360k או X = 150 + 360k כאשר k כל מספר שלם
פתרונות כלליים
- פיתרון משוואת סינוס פשוטה: α = 30 מעלות הפתרונות הם X = 30 + 360k ו-X = 180 - 30 + 360k = 150 + 360k, כאשר k מספר שלם.
- מציאת פתרונות למשוואה עם ערך שלילי: α = -60 פתרונות: X = -60 + 360k ו-X = 180 - (-60) + 360k = 240 + 360k