וידאו · משוואה טריגונומטרית
ב2. משוואה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- בשיעור נוסף על משוואות טריגונומטריות, נאמר כיצד לפתור משוואות המכילות סינוס של ביטויים כמו 2x, 3x, וכיצד לכתוב את הפתרונות הכלליים, בין אם במעלות או ברדיאנים. נעשה שימוש במחשבון למדידת זוויות וגם דנו בתהליכי הפירוק של הפתרונות לתחום נתון.
- ללמוד לפתור משוואות סינוס עם משתנה בכפולות שונות (למשל 2x, 3x).
- להבין כיצד לכתוב פתרונות כלליים למשוואות סינוס.
- לעבור בין יחידות מדידה - מעלות ורדיאנים ולהשתמש במחשבון בצורה נכונה.
- לדעת לפרוס פתרונות כלליים לתחום נתון.
- להכיר שלושה מצבים עיקריים של פתרונות משוואות סינוס ולזכור אותם.
- להשתמש במחשבון לפתרון משוואות ולהעריך פתרונות מספריים לתחום.
- להבין רעיון חיתוכים של פונקציות עם ציר ה-x ו-y והקשר למשוואה טריגונומטרית.
- פתרון משוואות סינוס עם ביטויים כפולים: הוסבר כיצד לפתור משוואות כמו סינוס של 2x השווה למספר נתון. המשתנה כפול 2 דורש חישוב זוויות מתאימות ואז חלוקה ב-2 לקבלת x.
- שליטה בין מעלות לרדיאנים ושימוש במחשבון: הודגש הצורך לעבוד נכון במידות אלו, כיצד להעביר את המחשבון ל-Radians או Degrees ואיך לא לשכוח להחזיר אחורה.
תרגול קצר
פתור את המשוואה סינוס 2x = -1/2 במעלות
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה סינוס של 2x שווה מינוס חצי בטווח של זוויות ריאליות.
רמז: מצא את הזווית שהסינוס שלה שווה ל- -1/2, כתוב את פתרון ה-2x ואז חלק ב-2 כדי לקבל x.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = -15 + 180k° או x = 105 + 180k°
סינוס של מינוס חצי שווה ל- -30 מעלות. לכן:\n 2x = -30 + 360k או 2x = 180 - (-30) + 360k = 210 + 360k\nחלק ב-2:\n x = -15 + 180k או x = 105 + 180k
פתור סינוס 4x = 1 במעלות
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה סינוס של 4x שווה 1 במעלות.
רמז: סינוס 90 מעלות שווה ל-1, כתוב את הפתרונות עבור 4x ואז חלק ב-4.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = 22.5 + 90k°
סינוס 4x = 1 כאשר:\n 4x = 90 + 360k או 4x = 180 - 90 + 360k = 90 + 360k\nחלק ב-4:\n x = 22.5 + 90k
פתור סינוס 2x = שורש 2 חלקי 2 ברדיאנים
רמת קושי: מאתגר
פתור את המשוואה סינוס של 2x שווה לשורש 2 חלקי 2 בתחום כל הערכים האמיתיים, ברדיאנים.
רמז: שורש 2 חלקי 2 שווה ל-π/4, נסה לכתוב את הפתרונות באמצעות π וביטוי כללי עם k.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = π/8 + πk או x = 3π/8 + πk
סינוס 2x = שורש 2 חלקי 2 כאשר:\n 2x = π/4 + 2πk או 2x = π - π/4 + 2πk = 3π/4 + 2πk\nחלק ב-2:\n x = π/8 + πk או x = 3π/8 + πk
מציאת נקודות חיתוך של הפונקציה y = -√3/2 + סינוס (2x) עם ציר x בתחום
רמת קושי: בגרות
נתונה y = -√3/2 + סינוס (2x), מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר x בתחום x בין -π ל-2π.
רמז: כדי למצוא נקודות חיתוך עם ציר x, הציב y=0 ופתור את המשוואה לסינוס 2x. לאחר מכן, פרוש את הפתרונות הכלליים לתוך התחום הנתון בלבד.
פתרון מלא
תשובה סופית: נקודות חיתוך עם ציר x ב: -5π/6, -π/6, π/6, 7π/6 (בתחום הנתון בין -π ל-2π).
נתחיל מ: 0 = -√3/2 + סינוס 2x => סינוס 2x = √3/2 הזוויות המתאימות הן: 2x = π/3 + 2πk או 2x = 2π/3 + 2πk חלק ב-2: x = π/6 + πk או x = π/3 + πk עמדו על תחום -π <= x <= 2π, בדקו אילו ערכי k מספקים פתרון בתחום זה: k בין -1 ל-2 (למשל), רשמו את נקודות החיתוך המתאימות בתוך התחום. נקודות החיתוך הן בערכים: x = -5π/6, -π/6, π/6, 7π/6 (לחילופין ממוינות ועוד)
דרך הפתרון
פתרון משוואה טריגונומטרית לדוגמה
סינוס של 2x שווה למינוס חצי - פתרון כללי במעלות
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערך x הכללי עבור כל k שלמים
- נתון 1
נתון 1
סינוס 2x = -1/2 - נתון 2
יחידת מידה: מעלות
- רעיון
הרעיון המרכזי
למצוא את הערך של הזווית שווה לסינוס מינוס חצי ואז לכתוב את הפתרונות הכלליים של 2x ולפשט ל-x על
- נוסחה
המשוואה 2x = -30 + 360k או 2x = 210 + 360k
2x = -30 + 360k2x = 210 + 360k - משוואה
סינוס של 2x שווה למינוס חצי
סינוס של 2x שווה למינוס חצי
- פישוט
חלק את שני הצדדים ב-2
חלק את שני הצדדים ב-2
x = (-30 + 360k) / 2 = -15 + 180kx = (210 + 360k) / 2 = 105 + 180k - תוצאה
מסיימים בתשובה
הפתרונות הם x = -15 + 180k או x = 105 + 180k למספר שלם k
x = -15 + 180kx = 105 + 180k
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
המשוואה
זיהוי נתונים
המשוואה
מה עושים
סינוס של 2x שווה למינוס חצי
למה
זו המשוואה שנתונה ונרצה לפתור
יש לפתור את המשוואה סינוס 2x = -1/2 במעלות
2בחירת שיטה
מציאת הזוויות המתאימות
בחירת שיטה
מציאת הזוויות המתאימות
מה עושים
חשב את הזווית α שהסינוס שלה שווה ל- -1/2
למה
אנו יודעים שסינוס α = -1/2 במעלות α = -30 או 210 מעלות
הזוויות שמספקות סינוס של -1/2 הן -30 מעלות ו-210 מעלות
נוכל להשתמש במחשבון או להיזכר בזווית הזאת מזיכרון
3בניית משוואה
כתיבת המשוואות עבור 2x
בניית משוואה
כתיבת המשוואות עבור 2x
מה עושים
המשוואה 2x = -30 + 360k או 2x = 210 + 360k
למה
משוויונות סינוס ידועים הפתרונות יכולים להיות הזווית או זווית המשלים ועוד מחזור 360 מעלות כפול k
x לא ידוע, k מספר שלם כלשהו.
נוסחה / הצבה
2x = -30 + 360k2x = 210 + 360kאל תשכח ש-k הוא כל שלם
4פתרון
לבודד את x
פתרון
לבודד את x
מה עושים
חלק את שני הצדדים ב-2
למה
כדי לקבל את הפתרון עבור x ולפרוס פתרון לכל k
x = -15 + 180k או x = 105 + 180k
נוסחה / הצבה
x = (-30 + 360k) / 2 = -15 + 180kx = (210 + 360k) / 2 = 105 + 180kרשום בצורה זו כדי לקבל את הסט המלא של הפתרונות
5תשובה
פתרון כללי
תשובה
פתרון כללי
מה עושים
הפתרונות הם x = -15 + 180k או x = 105 + 180k למספר שלם k
למה
זה נותן את כל הפתרונות האפשריים למשוואה במעלות
כעת אפשר להציב ערכי k שלמים כדי לקבל פתרונות ספציפיים
נוסחה / הצבה
x = -15 + 180kx = 105 + 180kאפשר לכתוב את הפתרונות הנוספים ע"פ הצורך
פתרונות כלליים
- פתור את המשוואה סינוס 2x = -1/2 במעלות: סינוס של מינוס חצי שווה ל- -30 מעלות. לכן:\n 2x = -30 + 360k או 2x = 180 - (-30) + 360k = 210 + 360k\nחלק ב-2:\n x = -15 + 180k או x = 105 + 180k
- פתור סינוס 4x = 1 במעלות: סינוס 4x = 1 כאשר:\n 4x = 90 + 360k או 4x = 180 - 90 + 360k = 90 + 360k\nחלק ב-4:\n x = 22.5 + 90k
- פתור סינוס 2x = שורש 2 חלקי 2 ברדיאנים: סינוס 2x = שורש 2 חלקי 2 כאשר:\n 2x = π/4 + 2πk או 2x = π - π/4 + 2πk = 3π/4 + 2πk\nחלק ב-2:\n x = π/8 + πk או x = 3π/8 + πk
- מציאת נקודות חיתוך של הפונקציה y = -√3/2 + סינוס (2x) עם ציר x בתחום: נתחיל מ: 0 = -√3/2 + סינוס 2x => סינוס 2x = √3/2 הזוויות המתאימות הן: 2x = π/3 + 2πk או 2x = 2π/3 + 2πk חלק ב-2: x = π/6 + πk או x = π/3 + πk עמדו על תחום -π <= x <= 2π, בדקו אילו ערכי k מספקים פתרון בתחום זה: k בין -1 ל-2 (למשל), רשמו את נקודות החיתוך המתאימות בתוך התחום. נקודות החיתוך הן בערכים: x = -5π/6, -π/6, π/6, 7π/6 (לחילופין ממוינות ועוד)