וידאו · משוואה טריגונומטרית
ב3. משוואה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בפתרון משוואות טריגונומטריות על פי תבנית של פונקציית הקוסינוס, כולל הצגת דרכי פתרון, הקפולים במישור הזוויות וחישוב חיתוכים עם צירים.
- להבין את הצורה הכללית של פתרונות משוואות קוסינוס
- ליישם את תבנית הפתרונות עם הקפולים (ריבועים של 360 מעלות או 2 פאי)
- לדעת לחשב חיתוכים עם צירים על פונקציות טריגונומטריות
- להשתמש במחשבון למדידת זוויות ופתרונות בעיות טריגונומטריות
- פתרון משוואת קוסינוס בסיסית: הסבר על ניסוח הפתרון למשוואת קוסינוס x = a, עם שני פתרונות α ו- -α, והכפלה ב-360 מעלות (2π) לסיבובים חוזרים.
- שימוש במחשבון וייצוג פתרונות: חשיבות השימוש במחשבון לזוויות, והקפדה על הזנת ביטויים נכונה (לדוגמה, ^2 בריבועים).
- חיתוכים עם ציר X ו-Y: הסבר כיצד למצוא חיתוכים על ידי השוואת הפונקציה לאפס (חיתוך עם ציר X) וחישוב ערך הפונקציה בנקודה 0 (חיתוך עם ציר Y).
תרגול קצר
פתור את המשוואה cos(x) = 0.5 בתחום 0 עד 2π
רמת קושי: קל
מצא את כל הפתרונות של המשוואה cos(x) = 0.5 כאשר x בתחום מ0 עד 2π
רמז: חשב את הזווית α כך ש-cos(α) = 0.5, ואז השתמש בפתרונות x=α ו-x=-α + 2π
פתרון מלא
תשובה סופית: x = π/3 , 5π/3
נחשב α = arccos(0.5) = π/3. הפתרונות בתחום 0 עד 2π הם x = π/3 ו-x = 2π - π/3 = 5π/3.
חיתוך עם ציר X של y = cos²(x) - sin²(x) בתחום מ-3π עד π/2 ומינוס 1000
רמת קושי: בינוני
מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה y = cos²(x) - sin²(x) עם ציר ה-X בתחום הנתון
רמז: השתמש בזהות טריגונומטרית ש-cos²(x) - sin²(x) = cos(2x), אפס את הפונקציה והצא משוואה
פתרון מלא
תשובה סופית: x = π/4 + kπ/2, עם k אינטגרלי בתחום הנתון
נציב y = 0 ⇒ cos(2x) = 0. הפתרונות הם 2x = π/2 + kπ ⇒ x = π/4 + kπ/2. יש לבחור את k כך ש-x בתחום הנתון.
דרך הפתרון
פתרון משוואה טריגונומטרית מסוג קוסינוס
פתרון משוואה cos(x) = 0.5 בתחום 0 עד 2π
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערכי x בתחום הנתון שמקיימים cos(x) = 0.5
- נתון 1
נתון 1
cos(x) = 0.5 - נתון 2
תחום: 0 ≤ x ≤ 2π
- רעיון
הרעיון המרכזי
חשב את הזווית הראשית α = arccos(0.5), ולאחר מכן השתמש בתבנית הפתרון הכוללת α ו- -α, תוך התחשבות
- נוסחה
כתוב את הפתרונות x = α + 2kπ ו-x = -α + 2kπ
x = alpha + 2k*pix = -alpha + 2k*pix = α + 2kπx = -α + 2kπx = + 2k - משוואה
המשוואה היא cos(x) = 0.5 בתחום 0 עד 2π
המשוואה היא cos(x) = 0.5 בתחום 0 עד 2π
- פישוט
חשב את ערכי x עבור k = 0 ו-k = 1 בתחום 0 עד 2π
חשב את ערכי x עבור k = 0 ו-k = 1 בתחום 0 עד 2π
- תוצאה
מסיימים בתשובה
רשום את הפתרונות x = π/3 ו-x = 5π/3 עבור התחום המבוקש
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתון המשוואה והתחום
זיהוי נתונים
נתון המשוואה והתחום
מה עושים
המשוואה היא cos(x) = 0.5 בתחום 0 עד 2π
למה
חשוב לדעת את התחום כדי למקד את הפתרונות
קוסינוס של x שווה 0.5, וחיפוש הפתרונות מוגבל לשינוי בערכים בין 0 ל-2π
2בחירת שיטה
חשב את הזווית הראשית α
בחירת שיטה
חשב את הזווית הראשית α
מה עושים
חשב α כך ש-cos(α) = 0.5
למה
α הוא הזווית הראשית שתיתן פתרון למשתנה x
α = arccos(0.5) = π/3
נוסחה / הצבה
arccos(0.5) = pi / 3arccos(0.5) = π/3(0.5) = ()/(3)ניתן להשתמש במחשבון מדעי או בערכים מוכרים
3בניית משוואה
נוסחת הפתרונות הכללית של משוואת קוסינוס
בניית משוואה
נוסחת הפתרונות הכללית של משוואת קוסינוס
מה עושים
כתוב את הפתרונות x = α + 2kπ ו-x = -α + 2kπ
למה
הקוסינוס מחזיר שני פתרונות שסובבים כל 2π רדיאנים
קוסינוס שווה לערך מסוים בזווית הראשית ובזווית המשיקה לה ולכל רבים של 2π
נוסחה / הצבה
x = alpha + 2k*pix = -alpha + 2k*pix = α + 2kπx = -α + 2kπx = + 2kk הוא כל מספר שלם
4פתרון
חשב את הפתרונות בתחום
פתרון
חשב את הפתרונות בתחום
מה עושים
חשב את ערכי x עבור k = 0 ו-k = 1 בתחום 0 עד 2π
למה
רק פתרונות בטווח הנתון נלקחים בחשבון
k=0: x=π/3 ו-x=-π/3+2π=5π/3 k=1: x=π/3+2π>2π (לא בתחום)
5תשובה
הפתרונות הסופיים
תשובה
הפתרונות הסופיים
מה עושים
רשום את הפתרונות x = π/3 ו-x = 5π/3 עבור התחום המבוקש
למה
אלה הפתרונות המתאימים למשוואה בתחומה
הפתרונות הם שני הערכים המקיימים את המשוואה בטווח שצוין
פתרונות כלליים
- פתור את המשוואה cos(x) = 0.5 בתחום 0 עד 2π: נחשב α = arccos(0.5) = π/3. הפתרונות בתחום 0 עד 2π הם x = π/3 ו-x = 2π - π/3 = 5π/3.
- חיתוך עם ציר X של y = cos²(x) - sin²(x) בתחום מ-3π עד π/2 ומינוס 1000: נציב y = 0 ⇒ cos(2x) = 0. הפתרונות הם 2x = π/2 + kπ ⇒ x = π/4 + kπ/2. יש לבחור את k כך ש-x בתחום הנתון.