MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · משוואה טריגונומטרית

ב5. משוואה טריגונומטרית

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

340 פריטים · 21 נושאים0%

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בפתרון משוואות טריגונומטריות מסוגים שונים, תוך שימוש בצעדים של הוצאת גורם משותף, יצירת מכפלות ופתרון מקרים מיוחדים עם סינוס וקוסינוס.
  • לפתור משוואות טריגונומטריות פשוטות ומורכבות
  • להבין ולהשתמש בשיטת הוצאת גורמים משותפים
  • לזהות מקרים מיוחדים בסינוס וקוסינוס ולפתור אותם
  • להכין את התלמיד לפתרון משוואות בתחום נתון
  • הוצאת גורם משותף ויצירת מכפלות: מתנסים בפתרון משוואות על ידי הוצאת גורם משותף וסידור המשוואה כמכפלה שערכה שווה לאפס.
  • מקרים מיוחדים בפתרון משוואות: מתורגלים בפתרון מקרים מיוחדים בהם סינוס או קוסינוס שווה לאפס או לערך מיוחד כגון 1.
  • שיטת ההצבה (T) בטריגונומטריה: נלמד כיצד להפוך משוואות טריגונומטריות לקלות לפתרון באמצעות שיטת הצבה ושימוש ב-T.

תרגול קצר

פתור את המשוואה סינוס ריבוע X + סינוס X קוסינוס X = 0

רמת קושי: קל

ממתין

פתור את המשוואה: סינוס בריבוע של X ועוד סינוס של X כפול קוסינוס של X שווה 0.

טריגונומטריהמשוואות טריגונומטריותסינוסקוסינוס

רמז: הוצא גורם משותף סינוס X, ואז פצל למשוואות קטנות שווה לאפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = πk או x = -π/4 + πk, k ∈ Z

נוציא גורם משותף: סינוס X (סינוס X + קוסינוס X) = 0. נפתור כל אחד מהגורמים: 1) סינוס X = 0, הפתרון הוא x = pi*k 2) סינוס X + קוסינוס X = 0 נבודד ונשתמש בחילוף פאהר: סינוס X = - קוסינוס X \implies \tan X = -1. הפתרון הוא x = -π/4 + π*k.

פתור את המשוואה 2 סינוס בריבוע X - 3 סינוס X + 1 = 0

רמת קושי: בינוני

ממתין

פתור את המשוואה: 2 סינוס בריבוע X מינוס 3 סינוס X פלוס 1 שווה 0.

טריגונומטריהמשוואות טריגונומטריותשיטת הצבהסינוס

רמז: השתמש בשיטת הצבה T = סינוס X לפישוט המשוואה לרב-מעלה רגילה.

פתרון מלא

תשובה סופית: X = π/2 + 2πk, או X = π/6 + 2πk, או X = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z

נגדיר T = סינוס X. אז המשוואה היא: 2 T^2 - 3 T + 1 = 0. נפתור את המשוואה הריבועית: דיסקרימיננט D = 9 - 8 = 1. פתרונות: T = (3 ± 1)/4, אז T = 1 או T = 1/2. כעת נחזור ל-סינוס X: 1) סינוס X = 1 → X = π/2 + 2πk 2) סינוס X = 1/2 → X = π/6 + 2πk או X = 5π/6 + 2πk.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתור את המשוואה סינוס בריבוע X ועוד סינוס X קוסינוס X שווה לאפס

פתרון של משוואה טריגונומטרית ע״י הוצאת גורם משותף ופיצול למקרים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ערכי X שמקיימים את המשוואה

  2. נתון 1

    נתון 1

    סינוס בריבוע X + סינוס X קוסינוס X = 0
  3. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להוציא גורם משותף ולפתור כל מרכיב בנפרד.

  4. נוסחה

    כתוב את המשוואה בצורה של מכפלה שווה ל-0: סינוס X כפול (סינוס X + קוסינוס

    סינוס X כפול (סינוס X ועוד קוסינוס X) = 0סינוס X * (סינוס X + קוסינוס X) = 0x * ( x + x) = 0
  5. משוואה

    כתוב את המשוואה הנתונה במלואה.

    כתוב את המשוואה הנתונה במלואה.

  6. פישוט

    קבע סינוס X = 0 ופתור את X.

    קבע סינוס X = 0 ופתור את X.

    X = פאי כפול kX = πk
  7. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    כתוב את הפתרונות של המשוואה לפי המקרים.

    X = פאי * k או X = מינוס פאי חלקי 4 ועוד פאי * kX = πk או X = -(π)/(4) + πk
  8. בדיקה

    בדיקה קצרה

    • סינוס וקוסינוס לא מתאפנים בו זמנית במקור
    • תמיד לנסות להוציא גורם משותף לפני צמצום
    • זהירות: צמצום מוקדם בלי להוציא גורם משותף

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הרשמת המשוואה

מה עושים

כתוב את המשוואה הנתונה במלואה.

למה

כדי לעבוד על הביטוי שיש לפתור.

המשוואה היא סינוס בריבוע X ועוד סינוס X קוסינוס X שווה לאפס.

2

בחירת שיטה

הוצאת גורם משותף

מה עושים

הוצא את סינוס X כגורם משותף.

למה

כך תוכל לפרק את המשוואה למכפלה פשוטה יותר.

סינוס X מוכפל בסכום (סינוס X + קוסינוס X).

במשוואות טריגונומטריות, הוצאת גורם משותף מסייעת לפישוט.

3

בניית משוואה

פישול המשוואה למכפלה

מה עושים

כתוב את המשוואה בצורה של מכפלה שווה ל-0: סינוס X כפול (סינוס X + קוסינוס X) = 0.

למה

מכפלה שווה לאפס כאשר אחד מהגורמים שווה לאפס.

נוכל לפתור כל אחד מהגורמים בנפרד.

נוסחה / הצבה

סינוס X כפול (סינוס X ועוד קוסינוס X) = 0סינוס X * (סינוס X + קוסינוס X) = 0x * ( x + x) = 0
4

פתרון

פתור מקרה סינוס X = 0

מה עושים

קבע סינוס X = 0 ופתור את X.

למה

מאחר והמכפלה שווה לאפס, מספיק שאחד מהגורמים יהיה 0.

דרך כלל: סינוס X = 0 ⇒ X = πk

נוסחה / הצבה

X = פאי כפול kX = πkx = k

k הוא מספר שלם.

5

פתרון

פתור מקרה סינוס X + קוסינוס X = 0

מה עושים

קבע סינוס X = - קוסינוס X, וכתוב כי טנגנס X = -1, ופתור.

למה

אפשר להעביר קוסינוס אגף וליצור משוואה בטנגנס.

טנגנס X = סינוס X חלקי קוסינוס X, לכן במשוואה נקבל טנגנס X = -1.

נוסחה / הצבה

טנגנס X = מינוס 1X = -1x = -1

זכור את ערכי הטנגנס המיוחדים.

6

תשובה

כתוב פתרונות כלליים

מה עושים

כתוב את הפתרונות של המשוואה לפי המקרים.

למה

כדי לקבל את כל ערכי X המתאימים למשוואה.

סינוס X = 0 → X = πk, סינוס X + קוסינוס X = 0 → X = -π/4 + πk.

נוסחה / הצבה

X = פאי * k או X = מינוס פאי חלקי 4 ועוד פאי * kX = πk או X = -(π)/(4) + πkx = k או x = -()/(4) + k

k הוא כל מספר שלם.

פתרונות כלליים

  • פתור את המשוואה סינוס ריבוע X + סינוס X קוסינוס X = 0: נוציא גורם משותף: סינוס X (סינוס X + קוסינוס X) = 0. נפתור כל אחד מהגורמים: 1) סינוס X = 0, הפתרון הוא x = pi*k 2) סינוס X + קוסינוס X = 0 נבודד ונשתמש בחילוף פאהר: סינוס X = - קוסינוס X \implies \tan X = -1. הפתרון הוא x = -π/4 + π*k.
  • פתור את המשוואה 2 סינוס בריבוע X - 3 סינוס X + 1 = 0: נגדיר T = סינוס X. אז המשוואה היא: 2 T^2 - 3 T + 1 = 0. נפתור את המשוואה הריבועית: דיסקרימיננט D = 9 - 8 = 1. פתרונות: T = (3 ± 1)/4, אז T = 1 או T = 1/2. כעת נחזור ל-סינוס X: 1) סינוס X = 1 → X = π/2 + 2πk 2) סינוס X = 1/2 → X = π/6 + 2πk או X = 5π/6 + 2πk.
הפריט הקודםהפריט הבא