וידאו · משוואה טריגונומטרית
ב4. משוואה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- בשיעור זה למדנו כיצד לפתור משוואות טריגונומטריות involving טנגנס, בעבודה עם מחשבון ובשימוש בתכונות טנגנס לעומת סינוס וקוסינוס.
- להבין שימוש בטנגנס לפתרון משוואות טריגונומטריות
- להשתמש במחשבון למציאת ערכי זוויות בטנגנס
- להמיר משוואות עם סינוס וקוסינוס למשוואות טנגנס
- לטפל בפתרונות המופיעים בקליפות שונות על ידי הוספת pi*k
- פתרון משוואות טנגנס: משלבים מחשבון ומבינים שכאשר הטנגנס שווה לערך נתון, הפתרונות הם הזוויות המתאימות פלוס pi כפול k שלם.
- המרה בין ביטויים של סינוס וקוסינוס לטנגנס: כדי לפתור משוואות מסובכות, מעבירים אגפים ומחלקים בסינוס או בקוסינוס ומגיעים לביטוי של טנגנס שווה לביטוי מספרי.
תרגול קצר
פתר משוואה טנגנס פשוטה
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה: טנגנס X = שורש 3
רמז: זכור - כאשר טנגנס X = ערך, הפתרונות הם X=אלפא + pi*k
פתרון מלא
תשובה סופית: X = pi/3 + pi*k, k∈Z
טנגנס X = שורש 3 → X = pi/3 + pi*k, k∈Z
פתר משוואה מורכבת עם סינוס וקוסינוס
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה: 3*sin X = שורש 3*cos X
רמז: חלק שני הצדדים ב- cos X והשתמש בהגדרת הטנגנס
פתרון מלא
תשובה סופית: X = pi/6 + pi*k, k∈Z
3*sin X = שורש 3*cos X חלק ב- cos X: 3*(sin X / cos X) = שורש 3 3 * tan X = שורש 3 אז tan X = שורש 3 / 3 לכן X = pi/6 + pi*k, k∈Z
דרך הפתרון
פתרון משוואה טריגונומטרית עם טנגנס
דוגמה: 3*sin X = שורש 3*cos X
מפת פתרון
- מטרה
למצוא את כל ערכי ה-X שמקיימים את המשוואה
- נתון 1
נתון 1
3*sin X = שורש 3*cos X - רעיון
הרעיון המרכזי
להעביר אגפים ולבטא את המשוואה במונחי טנגנס כדי לפתור בקלות.
- נוסחה
מזהים ש- sin X/cos X = tan X ומחליפים
3 * tan X = sqrt(3)3 X = 3 - משוואה
יש לנו 3*sin X שווה לשורש 3*cos X
יש לנו 3*sin X שווה לשורש 3*cos X
- פישוט
מחלקים ב-3 ומשווים ל-tan X
מחלקים ב-3 ומשווים ל-tan X
tan X = sqrt(3) / 3X = (3)/(3) - תוצאה
מסיימים בתשובה
מוסיפים pi*k לכל הפתרונות
X = pi/6 + pi*k, k in ZX = ()/(6) + k, k Z - בדיקה
בדיקה קצרה
- וידוא הבנת המעבר מסינוס וקוסינוס לטנגנס
- הבנת המחזוריות של טנגנס והוספת pi*k
- זהירות: שכחת להוסיף pi*k לפתרונות
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
המשוואה המסופקת
זיהוי נתונים
המשוואה המסופקת
מה עושים
יש לנו 3*sin X שווה לשורש 3*cos X
למה
זו נקודת ההתחלה לפתירת הבעיה
המשוואה המקורית היא 3*sin X = שורש 3*cos X
2בחירת שיטה
להעביר אגפים וליצור טנגנס
בחירת שיטה
להעביר אגפים וליצור טנגנס
מה עושים
לחלק את שני אגפי המשוואה ב-cos X
למה
כיוון ש tan(X) = sin(X) חלקי cos(X), זה יעזור בבידוד tan X
מחלקים ב-cos X משני הצדדים
נוסחה / הצבה
3 * (sin X / cos X) = sqrt(3)(3*sin X)/(cos X) = (שורש 3*cos X)/(cos X)(3 X)/( X) = (3 X)/( X)יש לוודא ש-cos X ≠ 0 בטווח הפתרונות
3בניית משוואה
ביטוי טנגנס
בניית משוואה
ביטוי טנגנס
מה עושים
מזהים ש- sin X/cos X = tan X ומחליפים
למה
כדי לקבל משוואה פשוטה עם טנגנס בלבד
נחליף ונקבל 3*tan X = שורש 3
נוסחה / הצבה
3 * tan X = sqrt(3)3 X = 34פתרון
בודקים את ערך טנגנס X
פתרון
בודקים את ערך טנגנס X
מה עושים
מחלקים ב-3 ומשווים ל-tan X
למה
להגיע לביטוי טנגנס X = ערך מספרי פשוט
tan X = sqrt(3) / 3
נוסחה / הצבה
tan X = sqrt(3) / 3X = (3)/(3)ערך זה של טנגנס מתאים ל-pi/6
5תשובה
נוסחת הפתרונות
תשובה
נוסחת הפתרונות
מה עושים
מוסיפים pi*k לכל הפתרונות
למה
מכיוון שהטנגנס מחזורי לאחר pi
X = pi/6 + pi * k כאשר k הוא מספר שלם
נוסחה / הצבה
X = pi/6 + pi*k, k in ZX = ()/(6) + k, k ZX = ()/(6) + k, \k Zאל תשכחו לכלול את כל הפתרונות
פתרונות כלליים
- פתר משוואה טנגנס פשוטה: טנגנס X = שורש 3 → X = pi/3 + pi*k, k∈Z
- פתר משוואה מורכבת עם סינוס וקוסינוס: 3*sin X = שורש 3*cos X חלק ב- cos X: 3*(sin X / cos X) = שורש 3 3 * tan X = שורש 3 אז tan X = שורש 3 / 3 לכן X = pi/6 + pi*k, k∈Z