וידאו · משוואה טריגונומטרית
ב1. משוואה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- בשיעור זה לומדים כיצד לפתור משוואות טריגונומטריות מסוג סינוס, כיצד להשתמש במחשבון בצורה נכונה, להבין את המגבלות שלו ולכתוב את כל הפתרונות הכלליים של המשוואה ע"פ התבנית המתאימה.
- לזהות ולהבין פתרונות של משוואות סינוס
- לנצל את פונקציית ה-inv sin במחשבון להסקת זווית בסיסית
- לכתוב את כל הפתרונות הכלליים של משוואת סינוס
- להבין את המושג סיבובי של 360 מעלות בפתרון משוואות טריגונומטריות
- ליישם תבנית כללית לכתיבת פתרונות למשוואת סינוס
- לזהות מקרים שאין להם פתרון במשוואה
- להמיר ביטויים מורכבים לנוסחה תקנית לפתרון
- פתרון בסיסי של סינוס X שווה ערך מספרי: משתמשים במחשבון כדי לקבל זווית אלפא בסיסית בעזרת פעולת shift sin, אך המחשבון מציג רק פתרון אחד מעודני – לפעמים איבוד חלק מהפתרונות הכלליים.
- תבנית פתרון כללית למשוואת סינוס: המשוואה sin X = A נפתרת באמצעות זווית אלפא שהמחשבון נותן, והנוסחה הכללית היא X = Alpha + 360K או X = 180 - Alpha + 360K כשה-k הוא כל מספר שלם המתאר סיבובי סיבוב פנימיים.
תרגול קצר
פתרון משוואה סינוס פשוטה
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה: sin X = \frac{1}{2}
רמז: חשב את האלפא באמצעות מחשבון והשתמש בנוסחת הפתרון הכללי עם 360K.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = 30 + 360K \quad\text{או}\quad X = 150 + 360K, \quad K \in \mathbb{Z}
האלפא הוא 30 מעלות (arcsin 1/2 = 30).\nלכן, X = 30 + 360K או X = 180 - 30 + 360K = 150 + 360K, כאשר K מספר שלם.
פתרון משוואה עם ערך שלילי
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה: sin X = -\frac{\sqrt{3}}{2}
רמז: חשב את אלפא במחשבון בעזרת shift sin והשלם את הפתרונות באמצעות תבנית כללית.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = -60 + 360K \quad\text{או}\quad X = 240 + 360K, \quad K \in \mathbb{Z}
arcsin(-\sqrt{3}/2) = -60 מעלות.\nX = -60 + 360K או X = 180 - (-60) + 360K = 240 + 360K, כאשר K מספר שלם.
דרך הפתרון
פתרון משוואה sin X = 1/2
כיצד למצוא את כלל הפתרונות
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערכי X שמקיימים את המשוואה
- נתון 1
נתון 1
sin X = 1/2 - רעיון
הרעיון המרכזי
חשוב לחשב את הזווית הבסיסית אלפא מהמחשבון ולהוסיף את כל הפתרונות לפי המחזוריות.
- נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
- משוואה
יש לפתור sin X = 1/2
יש לפתור sin X = 1/2
- פישוט
הכן שתי משוואות: X = 30 + 360K ו-X = 150 + 360K
הכן שתי משוואות: X = 30 + 360K ו-X = 150 + 360K
- תוצאה
מסיימים בתשובה
הפתרון הוא X = 30 + 360K או 150 + 360K
- בדיקה
בדיקה קצרה
- הבנה של shift sin במחשבון
- כתיבת הפתרון הכללי עם שני הייצוגים
- זהירות: לשכוח להוסיף את הפתרון X = 180 - Alpha + 360K
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
המשוואה הנתונה
זיהוי נתונים
המשוואה הנתונה
מה עושים
יש לפתור sin X = 1/2
למה
אנחנו מחפשים את זווית X שמקיימת את המשוואה
המשוואה היא sin X שווה ל-1/2
2בחירת שיטה
חשב אלפא
בחירת שיטה
חשב אלפא
מה עושים
חשב את הזווית אלפא = arcsin(1/2) במחשבון
למה
המחשבון יתן זווית בסיסית במעלות
הזווית הבסיסית היא אלפא = 30 מעלות
השתמש במחשבון עם shift sin או פונקציה הפוכה של סינוס
3בניית משוואה
נוסחת הפתרונות הכלליים
בניית משוואה
נוסחת הפתרונות הכלליים
מה עושים
כתוב את הפתרון כ-X = Alpha ועוד 360K, ו-X = 180 פחות Alpha ועוד 360K
למה
פונקציית סינוס מחזורית והפתרון כולל את כל הסיבובים
X = 30 + 360K או X = 180 - 30 + 360K
K הוא כל מספר שלם
4פתרון
קבלת שתי משוואות חלקיות
פתרון
קבלת שתי משוואות חלקיות
מה עושים
הכן שתי משוואות: X = 30 + 360K ו-X = 150 + 360K
למה
משני מצבים הסינוס הוא חצי
המשוואות הן הכוללות את כל הפתרונות
5תשובה
הפתרון הכללי
תשובה
הפתרון הכללי
מה עושים
הפתרון הוא X = 30 + 360K או 150 + 360K
למה
זוהי נוסחת הפתרון הכללית למשוואה
כל ערך X בצורת זו הוא פתרון למשוואה
K \in \mathbb{Z}
פתרונות כלליים
- פתרון משוואה סינוס פשוטה: האלפא הוא 30 מעלות (arcsin 1/2 = 30).\nלכן, X = 30 + 360K או X = 180 - 30 + 360K = 150 + 360K, כאשר K מספר שלם.
- פתרון משוואה עם ערך שלילי: arcsin(-\sqrt{3}/2) = -60 מעלות.\nX = -60 + 360K או X = 180 - (-60) + 360K = 240 + 360K, כאשר K מספר שלם.