וידאו · משוואה טריגונומטרית
ב2. משוואה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בפתרון משוואות טריגונומטריות מהצורה סינוס של ביטוי שווה לערך נתון, בשימוש ברדיאנים ובפרישת פתרונות בתחום נתון. הושם דגש על המרת מעלות לרדיאנים, פירוק פתרונות כלליים וסקירה בתחומי הגבלה עם שימוש במחשבון.
- לפתור משוואות טריגונומטריות מסוג סינוס במשתנה עם הכפלת זווית
- להמיר מעלות לרדיאנים ולהשתמש בהם בפתרון משוואות
- להבין את המשתנים הכלליים 360 ק ו-2 פאי ק בפתרונות
- לפרוס פתרונות בתחום נתון ולהבין את דרישת הצמצום לתחום מסוים
- להשתמש במחשבון למדידה ובדיקת תחום פתרון
- פתרון משוואות סינוס עם זוויות כפולות: נלמד לפתור משוואות מהצורה סינוס של 2X שווה לערך נתון, ע״י הוצאת פתרונות כלליים וכתיבת X לאחר חלוקה מתאימה.
- המרת מעלות לרדיאנים וחשיבותם בבגרות: חשבנו את ההמרה בין מעלות לרדיאנים, כאשר 180 מעלות שוות לפאי רדיאנים. למדנו לעבוד עם מחשבון במוד רדיאנים ובחשיבות להחזיר לדרגות לאחר פתרון.
- פירוש פתרונות בתחום נתון: ניתן תחום פתרון (למשל מ־-פאי עד 2 פאי) ומבקשים לפרוס פתרונות שנמצאים בתחום זה בלבד, בעזרת התמרה לערכים עשרוניים ובדיקת התחום.
תרגול קצר
פתרון משוואת סינוס פשוטה
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה sin(2x) = -1/2 עבור x בתחום הכללי.
רמז: השתמש בנוסחאות הפתרון הכלליות של סינוס, מצא זוויות ראשוניות, ואז חלק ב-2.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = -π/6 + πk או x = 7π/6 + πk כאשר k שייך למספרים השלמים.
אנחנו יודעים שסינוס שווה ל-
פריסה של פתרונות בתחום
רמת קושי: בינוני
נתונה המשוואה sin(2x) = √3/2, מצא את כל הפתרונות בתחום של x מ-−π עד 2π.
רמז: כתוב פתרונות כלליים, חלק ב-2, ונסמך על בדיקת תחום בעזרת ערך עשרוני במחשבון.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = π/6 + πk והפתרונות בתחום המבוקש הם לכל k כך ש-x בתחום הנתון.
כתיבת פתרונות כלליים: 2x = π/3 + 2πk 2x = 2π/3 + 2πk חלוקה ב-2: x = π/6 + πk x = π/3 + πk בדוק אילו פתרונות בתחום מ−π עד 2π, בעזרת ערכים עשרוניים.
משוואה טריגונומית עם ערכים מדומים במחשבון
רמת קושי: מאתגר
פתור את המשוואה sin(x) = -0.2 בתחום הכללי ברדיאנים והצג פתרונות מדויקים לפי מחשבון.
רמז: חשב ארק סינוס של -0.2 במחשבון במצב רדיאנים, כתוב פתרונות כלליים ופרוס תחומים לפי הצורך.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = -0.201 + 2πk או x = 3.343 + 2πk כאשר k שייך למספרים השלמים.
arc sin(-0.2) = -0.201 rad (בקירוב). הפתרונות הם: x = -0.201 + 2πk x = π + 0.201 + 2πk רשום את הפתרונות ובדוק תחומים לפי דרישות התרגיל.
חיתוך פונקציה עם צירים וסינוס כפול זווית
רמת קושי: בגרות
נתונה הפונקציה y = -√3/2 + sin(2x) בתחום x מ-−π עד 2π. מצא את נקודות החיתוך עם ציר ה-x ועם ציר ה-y.
רמז: חיתוך עם ציר y הוא להציב x=0. חיתוך עם ציר x הוא לפתור y=0. השתמש בפתרון משוואה טריגונומטרית בסינוס עם זווית כפולה.
פתרון מלא
תשובה סופית: נקודות חיתוך עם ציר y: (0, -√3/2) נקודות חיתוך עם ציר x בתחום הנתון: x = π/6 + πk x = π/3 + πk עם תחום מתאים ל-k לפי תחום x בין -π ל-2π.
חיתוך עם ציר y: x=0, y= -√3/2 + sin(0) = -√3/2 חיתוך עם ציר x: נפתור -√3/2 + sin(2x) = 0 סינוס(2x) = √3/2 פתרון כללי: 2x = π/3 + 2πk 2x = 2π/3 + 2πk חלוקה ב-2: x= π/6 + πk x= π/3 + πk פריסת הפתרונות בתחום הנתון בעזרת חישובים עשרוניים ובדיקת תחום.
דרך הפתרון
פתרון משוואת סינוס עם זווית כפולה
דוגמה: sin(2x) = -1/2
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערך כללי של x שעונה על המשוואה
- נתון 1
נתון 1
sin(2x) = -1/2 - רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בפתרונות הכלליים של סינוס ונבודד את x על ידי חלוקה ב-2.
- נוסחה
2x = -π/6+2πk או 2x = 7π/6 + 2πk
2x = -pi/6 + 2pi k2x = 7pi/6 + 2pi k - משוואה
כתבו sin(2x) = -1/2
כתבו sin(2x) = -1/2
- פישוט
חלק את שני הצדדים ב-2
חלק את שני הצדדים ב-2
x = -pi/12 + pi kx = 7pi/12 + pi k - תוצאה
מסיימים בתשובה
אם נדרש, בדוק אילו פתרונות נמצאים בטווח נתון
- בדיקה
בדיקה קצרה
- הבנת כתיבת פתרונות סינוס כלליים עם שני ביטויים
- חשיבות חלוקה במספר שמכפיל את x
- זהירות: שכחת לכתוב את שני הביטויים של הפתרון הכללי
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתון המשוואה
זיהוי נתונים
נתון המשוואה
מה עושים
כתבו sin(2x) = -1/2
למה
זו המשוואה לפתרון.
נתון שהסינוס של 2x שווה מינוס חצי.
2בחירת שיטה
מצא זוויות ראשוניות לסינוס
בחירת שיטה
מצא זוויות ראשוניות לסינוס
מה עושים
מצא ערכי הזווית שבהם סינוס = -1/2
למה
כדי למצוא פתרונות ראשוניים של 2x
סינוס שווה ל- -1/2 בזוויות -π/6 ו-7π/6
ניתן להשתמש בטבלת זוויות
3בניית משוואה
כתוב משוואות פתרון כלליות ל-2x
בניית משוואה
כתוב משוואות פתרון כלליות ל-2x
מה עושים
2x = -π/6+2πk או 2x = 7π/6 + 2πk
למה
לכל זווית יש פתרונות מחזוריים עם תוספת 2πk
הפתרונות של סינוס הם α ועוד 2πk או π פחות α ועוד 2πk
נוסחה / הצבה
2x = -pi/6 + 2pi k2x = 7pi/6 + 2pi k4פתרון
בודד את x
פתרון
בודד את x
מה עושים
חלק את שני הצדדים ב-2
למה
כדי למצוא את x שמספק את המשוואה
x = -π/12 + πk או x = 7π/12 + πk
נוסחה / הצבה
x = -pi/12 + pi kx = 7pi/12 + pi kלא לשכוח את πk כמחזור פתרונות
5בדיקה
בדוק תחום פתרון לפי דרישה (במידת הצורך)
בדיקה
בדוק תחום פתרון לפי דרישה (במידת הצורך)
מה עושים
אם נדרש, בדוק אילו פתרונות נמצאים בטווח נתון
למה
להבטיח שהפתרונות עומדים בתנאי התחום
אפשר להחליף ערכים ל-k ולבדוק עם מחשבון האם משתלבים בתחום
6תשובה
צור רשימת פתרונות סופית
תשובה
צור רשימת פתרונות סופית
מה עושים
כתוב את הפתרונות הכלליים או מסוננים לפי תחום
למה
להציג פתרון סופי וברור לתלמיד
x = -π/12 + πk ו-x = 7π/12 + πk k שייך למספרים השלמים
נוסחה / הצבה
x = -pi/12 + pi kx = 7pi/12 + pi kפתרונות כלליים
- פתרון משוואת סינוס פשוטה: אנחנו יודעים שסינוס שווה ל-
- פריסה של פתרונות בתחום: כתיבת פתרונות כלליים: 2x = π/3 + 2πk 2x = 2π/3 + 2πk חלוקה ב-2: x = π/6 + πk x = π/3 + πk בדוק אילו פתרונות בתחום מ−π עד 2π, בעזרת ערכים עשרוניים.
- משוואה טריגונומית עם ערכים מדומים במחשבון: arc sin(-0.2) = -0.201 rad (בקירוב). הפתרונות הם: x = -0.201 + 2πk x = π + 0.201 + 2πk רשום את הפתרונות ובדוק תחומים לפי דרישות התרגיל.
- חיתוך פונקציה עם צירים וסינוס כפול זווית: חיתוך עם ציר y: x=0, y= -√3/2 + sin(0) = -√3/2 חיתוך עם ציר x: נפתור -√3/2 + sin(2x) = 0 סינוס(2x) = √3/2 פתרון כללי: 2x = π/3 + 2πk 2x = 2π/3 + 2πk חלוקה ב-2: x= π/6 + πk x= π/3 + πk פריסת הפתרונות בתחום הנתון בעזרת חישובים עשרוניים ובדיקת תחום.