וידאו · משוואה טריגונומטרית
ב3. משוואה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בפתרון משוואות טריגונומטריות עם דגש על פונקציית הקוסינוס, תבניות הפתרון, תחומים ודרכים למצוא חיתוכים עם צירי x ו-y.
- להבין את תבניות הפתרון למשוואות קוסינוס
- לפתור משוואות טריגונומטריות בתחום מסוים
- למצוא חיתוכים עם ציר x ו-y
- להשתמש במחשבון כראוי לפתרון משוואות טריגונומטריות
- משוואות עם קוסינוס: הקטע מתאר את תבניות הפתרון הנפוצות למשוואות מהצורה cos x = a, עם הסבר על הייצוגים השונים של הזוויות והפרמטרים הכרוניים.
- שימוש במחשבון והגבלת התחום: השיעור ממליץ להשתמש במחשבון בצורה נכונה לקבלת פתרונות מדויקים, ומסביר כיצד להגדיר תחום פתרון כדי לקבל את הפתרונות הנכונים בלבד.
- חיתוך עם צירי x ו-y: מוסבר כיצד לחשב חיתוך של פונקציה טריגונומטרית עם ציר x (כאשר y=0) וציר y (כאשר x=0) באמצעות הפיכת המשוואה ופתרון מתאים.
תרגול קצר
פתור את המשוואה cos x = 1/2 בתחום 0 עד 2π
רמת קושי: קל
מצא את כל הפתרונות של המשוואה cos x = 1/2 כאשר x נמצא בין 0 ל-2π.
רמז: זכור כי פתרונות למשוואת קוסינוס כוללים את הזווית הראשונית ואת ההופכית שלה עם הוספת 2πk.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = π/3, 5π/3
חשב את האלפה: α = arccos(1/2) = π/3 הפתרונות הם x = π/3 + 2πk או x = -π/3 + 2πk בתחום 0 עד 2π הפתרונות הם x = π/3 ו x = 5π/3.
דרך הפתרון
פתרון משוואה טריגונומטרית עם קוסינוס
פתרון המשוואה cos x = 1/2 בתחום 0 עד 2π
מפת פתרון
- מטרה
למצוא כל ערכי x בטווח הנתון שמקיימים את המשוואה
- נתון 1
נתון 1
cos x = 1/2 - נתון 2
0 ≤ x ≤ 2π
- רעיון
הרעיון המרכזי
חשב את הזווית הראשונית באמצעות ארקקוס ושימוש במחזוריות הקוסינוס כדי למצוא את כל הפתרונות בטווח.
- נוסחה
הפתרונות הם α ועוד מחזור ו- -α ועוד מחזור
x = α + 2πkאוx = -α + 2πkx = α + 2πk או x = -α + 2πkx = + 2 k או x = - + 2 k - משוואה
קראת את המשוואה cos x = 1/2 והתחום 0 עד 2π
קראת את המשוואה cos x = 1/2 והתחום 0 עד 2π
- פישוט
בחר k כך ש־x יהיה בטווח 0 עד 2π
בחר k כך ש־x יהיה בטווח 0 עד 2π
- תוצאה
מסיימים בתשובה
הפתרונות הם x = π/3 ו- x = 5π/3
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתון המשוואה והתחום
זיהוי נתונים
נתון המשוואה והתחום
מה עושים
קראת את המשוואה cos x = 1/2 והתחום 0 עד 2π
למה
חשוב להבין מה בדיוק השאלה והגבלות התחום.
המשוואה נתונה, והתחום על הציר הוא בין 0 ל-2π.
2בחירת שיטה
חשב את הזווית הראשונית α
בחירת שיטה
חשב את הזווית הראשונית α
מה עושים
חשב את α = arccos(1/2)
למה
α הוא הזווית בה הקוסינוס שווה ל־1/2
מצא את הזווית הראשונית בעזרת מחשבון או ידנית.
נוסחה / הצבה
α = arccos(1/2)= ((1)/(2))יש להשתמש במחשבון במוד ראדיאנים או מעלות בהתאם.
3בניית משוואה
כתוב משוואות הפתרון
בניית משוואה
כתוב משוואות הפתרון
מה עושים
הפתרונות הם α ועוד מחזור ו- -α ועוד מחזור
למה
קוסינוס הוא פונקציה זוגית עם מחזוריות 2π
כתובת המשוואות הכלליות לפתרון
נוסחה / הצבה
x = α + 2πkאוx = -α + 2πkx = α + 2πk או x = -α + 2πkx = + 2 k או x = - + 2 kk הוא כל מספר שלם.
4פתרון
מצא פתרונות בתחום
פתרון
מצא פתרונות בתחום
מה עושים
בחר k כך ש־x יהיה בטווח 0 עד 2π
למה
רק פתרונות בטווח זה תקפים לשאלה
החלף k בעזרתו מציאת הפתרונות המתאימים בתחום
5תשובה
רשום את הפתרונות הסופיים
תשובה
רשום את הפתרונות הסופיים
מה עושים
הפתרונות הם x = π/3 ו- x = 5π/3
למה
שני הפתרונות הללו נמצאים בטווח הנתון ועונים על המשוואה
זו התשובה המבוקשת מבחינת תחום ומשוואה
לבדוק עם מחשבון ש-cos π/3 שווה לחצי.
פתרונות כלליים
- פתור את המשוואה cos x = 1/2 בתחום 0 עד 2π: חשב את האלפה: α = arccos(1/2) = π/3 הפתרונות הם x = π/3 + 2πk או x = -π/3 + 2πk בתחום 0 עד 2π הפתרונות הם x = π/3 ו x = 5π/3.