וידאו · אסימפטוטות אנכית ואופקית
א4. אסימפטוטות אנכית ואופקית דוגמא 3
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור שעוסק בזיהוי וחישוב אסימפטוטות אנכית ואופקית של פונקציות רציונליות תוך שימוש בגבולות, וחיבור נימוקים מתמטיים להבנת התנהגות הפונקציה סביב הערכים הקריטיים.
- להבין את משמעות אסימפטוטה אנכית ואופקית.
- לחשב גבולות של פונקציה בעת קירוב לערך קריטי.
- לזהות את תחום ההגדרה והשפעתו על הגרף.
- ליישם כלים של גבולות אינסוף וחישובים מדויקים בקירוב.
- לנתח התנהגות פונקציה בסביבת נקודות מפתח באמצעות שיקולים אלגבריים והיגיון גרפי.
- יסודות תחום ההגדרה: הגדרת תחום ההגדרה של הפונקציה בדגש על נקודות שבהן המכנה שווה ל-0, המשפיעות על אסימפטוטות אנכיות.
- חישוב גבולות סביב x=3: חישוב גבולות ימני ושמאלי כאשר x שואף ל-3, על מנת לזהות אסימפטוטה אנכית.
- אסימפטוטה אופקית בחישוב גבולות אינסוף: אבחון הגבול של הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף חיובי ושלילי למטרת זיהוי אסימפטוטות אופקיות.
- היגיון גרפי ושימוש בדסמוס: שימוש בכלים גרפיים להבנת התנהגות הפונקציה ונקודות קיצון.
תרגול קצר
זיהוי אסימפטוטה אנכית ב-x=3
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה f(x) = (x² - x) / (x - 3). חשבו את הגבול של f(x) כאשר x שואף ל-3 מימין וממשמאל. מהי אסימפטוטת הפונקציה בנקודה זו?
רמז: בדקו את התנהגות המכנה ב- x=3 וחשבו את הגבולות מהצדדים השונים.
פתרון מלא
תשובה סופית: אסימפטוטה אנכית ב-x=3
חישוב lim x->3⁺ (x² - x)/(x - 3) נותן אינסוף חיובי. חישוב lim x->3⁻ (x² - x)/(x - 3) נותן אינסוף שלילי. לכן קיימת אסימפטוטה אנכית ב-x=3.
גבול אינסוף ואסימפטוטה אופקית
רמת קושי: בינוני
באותה הפונקציה f(x) = (x² - x) / (x - 3), חשבו את הגבול כאשר x שואף לאינסוף חיובי ולמינוס אינסוף. מהי האסימפטוטה האופקית?
רמז: השוו בין חזקות המונה והמכנה וכתבו פונקציה מקבילה לצורך חישוב הגבול.
פתרון מלא
תשובה סופית: אין אסימפטוטה אופקית קשיחה. הפונקציה שואפת למעלה ולאופק במתכונת של y=x.
חזקת המונה גדולה מצבית מהמכנה ולכן הפונקציה שואפת להתנהגות של y = x. הגבול באינסוף הוא אינסוף ולכן אין אסימפטוטה אופקית קבועה.
דרך הפתרון
זיהוי אסימפטוטות אנכית ואופקית
פונקציה רציונלית והגבלת ערכים קריטיים
מפת פתרון
- מטרה
למצוא אסימפטוטה אנכית בנקודה x=3 / אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף לאינסוף חיובי ולמינוס
- נתון 1
נתון 1
f(x) = (x² - x) / (x - 3) - נתון 2
תחום הגדרה: x ≠ 3
- רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב גבולות של הפונקציה כאשר x שואף לנקודות מפתח וננתח את התנהגות הפונקציה באמצעות יחס חזקות
- נוסחה
משפט לחישוב הגבולות וההתנהגות סביב x=3 ובאינסוף.
f(x) = (x^2 - x)/(x - 3) - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
חשב את הגבולות לימין ולשמאל של x=3.
חשב את הגבולות לימין ולשמאל של x=3.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
שמת לב לאסימפטוטה אנכית ב-x=3 ואין אסימפטוטה אופקית קבועה.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הכרת הפונקציה ותחום ההגדרה
זיהוי נתונים
הכרת הפונקציה ותחום ההגדרה
מה עושים
הפונקציה נתונה כשבר בין פולינומים ומתחום ההגדרה נחסמת בנקודה x=3.
למה
לידע זה ישפיע על קיום אסימפטוטות אנכיות.
פונקציה רציונלית עם נקודה שבה המכנה מתאפס.
שימו לב שתחום ההגדרה הוא כל x פרט ל-3.
2בחירת שיטה
זהוי אסימפטוטה אנכית באמצעות גבולות
בחירת שיטה
זהוי אסימפטוטה אנכית באמצעות גבולות
מה עושים
נחשב את הגבולות מימין ומשמאל ל-x=3.
למה
כי אסימפטוטה אנכית מתקיימת כאשר הגבול שואף לאינסוף חיובי או שלילי.
נחשב lim x->3+ ו-lim x->3- של הפונקציה.
חשוב לבדוק את הגבולות משני הכיוונים.
3בניית משוואה
כתיבת הפונקציה בצורה המתאימה לחישוב בקירוב
בניית משוואה
כתיבת הפונקציה בצורה המתאימה לחישוב בקירוב
מה עושים
משפט לחישוב הגבולות וההתנהגות סביב x=3 ובאינסוף.
למה
כדי לאפשר חישוב גבולות וניתוח אסימפטוטות אופקיות.
f(x) = (x² - x)/(x - 3)
נוסחה / הצבה
f(x) = (x^2 - x)/(x - 3)פשטו ועדכנו להערכת הגבולות.
4פתרון
חישוב הגבולות סביב x=3
פתרון
חישוב הגבולות סביב x=3
מה עושים
חשב את הגבולות לימין ולשמאל של x=3.
למה
קביעה האם יש אסימפטוטה אנכית.
lim x->3+ f(x) = +∞, lim x->3- f(x) = -∞
השתמשו בהתקרבות לערך 3.
5פתרון
חישוב הגבולות באינסוף
פתרון
חישוב הגבולות באינסוף
מה עושים
חשב את הגבולות כאשר x שואף לאינסוף חיובי ולמינוס אינסוף.
למה
לזיהוי אסימפטוטה אופקית או היעדרה.
מכיוון שחזקת המונה גדולה מהמכנה, אין אסימפטוטה אופקית קבועה.
השוו בין חזקות המונה והמכנה.
6תשובה
מסקנות מהחישובים
תשובה
מסקנות מהחישובים
מה עושים
שמת לב לאסימפטוטה אנכית ב-x=3 ואין אסימפטוטה אופקית קבועה.
למה
מתוך התנהגות הפונקציה במקומות הנדונים.
אסימפטוטה אנכית ב-x=3. הפונקציה מתקרבת לפונקציה y=x באינסוף.
הבהרת המסקנות למידת הבנה.
פתרונות כלליים
- זיהוי אסימפטוטה אנכית ב-x=3: חישוב lim x->3⁺ (x² - x)/(x - 3) נותן אינסוף חיובי. חישוב lim x->3⁻ (x² - x)/(x - 3) נותן אינסוף שלילי. לכן קיימת אסימפטוטה אנכית ב-x=3.
- גבול אינסוף ואסימפטוטה אופקית: חזקת המונה גדולה מצבית מהמכנה ולכן הפונקציה שואפת להתנהגות של y = x. הגבול באינסוף הוא אינסוף ולכן אין אסימפטוטה אופקית קבועה.