וידאו · אסימפטוטות אנכית ואופקית
א2. אסימפטוטות אנכית ואופקית דוגמא 1
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור על מציאת אסימפטוטות אנכיות ואופקיות של פונקציה רציונלית באמצעות חקירת תחום ההגדרה, חישוב גבולות, וניתוח התנהגות הפונקציה בסביבה של נקודות בעייתיות ואינסוף.
- להגדיר תחום הגדרה של פונקציה רציונלית
- לזהות נקודות שבהן הפונקציה אינה מוגדרת ולגזור אסימפטוטות אנכיות
- לחפש אסימפטוטות אופקיות על ידי חישוב גבולות באינסוף
- לנמק בצורה מילולית את קיומן של האסימפטוטות ולכתוב זאת באופן מתמטי מדויק
- הגדרת הפונקציה ותחום ההגדרה: הפונקציה מוגדרת כשני x בריבוע פחות אחד כפול x בריבוע פחות ארבע. תחום ההגדרה נקבע על ידי איסור מחלק באפס, כלומר יש להוציא מהתחום את הערכים שהופכים את המכנה לאפס.
- בחינת התנהגות ליד נקודות אסימפטוטות אנכיות: הצבה של ערכים הקרובים לנקודות 2 ומינוס 2 להצגת ההתנהגות של הפונקציה בסמוך אליהם באמצעות מחשבון. תוצאות מצביעות על כך שלגבול בערך 2 פלוס הפונקציה שואפת לאינסוף חיובי ולגבול ב-2 מינוס היא שואפת לאינסוף שלילי ולהפך במינוס 2.
- מציאת אסימפטוטות אופקיות באמצעות גבולות באינסוף: חישוב גבולות הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף חיובי ושלילי. התוצאות מראות שהגבול הוא 2, כלומר האסימפטוטה האופקית היא y שווה 2.
- כתיבה מתמטית מדויקת ונימוקים מילוליים: הסבר על החשיבות של הכתיבה המדויקת בפורמט גבול (lim) עם השיוויים הנכונים, לצד נימוקים מילוליים המתארים את התנהגות הפונקציה במונחים של כוחות המונה והמכנה ומקדם החזקה המוביל לקיומן של האסימפטוטות.
תרגול קצר
מציאת תחום ההגדרה
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה f(x) = (2x² - 1)/(x² - 4). מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
רמז: תחום ההגדרה הוא כל x כך שהמכנה שונה מאפס. פתר את המשוואה x² -4 = 0.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה: x ∈ (-∞, -2) ∪ (-2, 2) ∪ (2, ∞)
מכיוון שהמכנה הוא x² - 4, שווה לאפס כאשר x² = 4, כלומר x = 2 או x = -2. לכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-2 ול-(-2).
חישוב גבולות לאסימפטוטות אנכיות
רמת קושי: בינוני
חישב את הגבול של f(x) = (2x² - 1)/(x² -4) כאשר x שואף ל-2 מהצד הימני והצד השמאלי. מה ניתן להסיק על האסימפטוטה האנכית?
רמז: בדוק את התנהגות הפונקציה כש-x קרוב ל2 מצידיו השונים. זכר שיש אפס במכנה ב-x=2.
פתרון מלא
תשובה סופית: אסימפטוטה אנכית ב-x=2
כש-x שואף ל-2 מימין, הפונקציה שואפת ל+∞ וכש-x שואף ל-2 משמאל, הפונקציה שואפת ל- -∞. לכן קיימת אסימפטוטה אנכית ב-x=2.
מציאת אסימפטוטות אופקיות ונימוק מילולי
רמת קושי: מאתגר
חשב את הגבול של הפונקציה f(x) = (2x² -1)/(x² -4) עבור x שואף ל-∞ ול- -∞. הסבר למה מתקבלת האסימפטוטה האופקית y=2.
רמז: השווה בין החזקות הגבוהות ביותר במונה ובמכנה וכתב את הגבול בהתבסס על מקדמיהם.
פתרון מלא
תשובה סופית: אסימפטוטה אופקית y=2
כיוון שהחזקות הגבוהות ביותר במונה ובמכנה שוות (2 עבור x² במונה ו-1 במכנה), הגבול כאשר x שואף ל-±∞ הוא יחס המקדמים, כלומר 2/1=2. לכן האסימפטוטה האופקית היא y=2.
המבחן – מציאת אסימפטוטות לפונקציה נתונה
רמת קושי: בגרות
נתונה הפונקציה f(x) = (2x² -1)/(x² -4). מצא את תחום ההגדרה, האסימפטוטות האנכיות והאסימפטוטה האופקית, וכתוב נימוקים מתמטיים ומילוליים בהתאם.
רמז: 1. מצא איפה המכנה מתאפס. 2. חשב גבולות קרובים לנקודות אלה כדי לבחון אסימפטוטות אנכיות. 3. חשב גבולות באינסוף כדי לבחון אסימפטוטות אופקיות. 4. סכם הכול בנימוק מילולי.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה: x ≠ ±2; אסימפטוטות אנכיות ב-x=2 ו-x=-2; אסימפטוטה אופקית y=2.
תחום ההגדרה: x שונה מ-2 ומ- -2. גבול מימין ל-2: הפונקציה שואפת ל+∞, וגבול משמאל ל-2 שואף ל- -∞ → אסימפטוטה אנכית ב-x=2. גבול מימין ומאלץ ל- -2: הפונקציה שואפת ל- -∞ ול+∞ בהתאמה → אסימפטוטה אנכית ב-x=-2. גבול באינסוף חיובי ושלילי: הגבול הוא 2 → אסימפטוטה אופקית y=2. נימוק מילולי: החזקות הגבוהות ביותר במונה ובמכנה שוות, ולכן הגבול באינסוף הוא יחס המקדמים 2/1=2. נקודות איפוס המכנה הן אסימפטוטות אנכיות.
דרך הפתרון
מציאת אסימפטוטות עבור הפונקציה f(x) = (2x² -1)/(x² -4)
מדריך שלבים למציאת תחום הגדרה ואסימפטוטות אנכיות ואופקיות
מפת פתרון
- מטרה
למצוא תחום ההגדרה של f(x) / אסימפטוטות אנכיות / אסימפטוטה אופקית
- נתון 1
נתון 1
f(x) = (2x² -1)/(x² -4) - רעיון
הרעיון המרכזי
קודם נמצא איפה המכנה מתאפס כדי לקבוע תחום הגדרה ואסימפטוטות אנכיות, אחר כך נחשב גבולות באינסוף
- נוסחה
לכתוב ביטויי גבול למצב בציון שואף לאינסוף חיובי או שלילי.
lim x-> 2+ f(x) = +∞lim x-> 2- f(x) = -∞lim x->2+ f(x) = +∞lim x->2- f(x) = -∞_x 2^+ f(x) = + - משוואה
פתור את המשוואה x² -4 ≠ 0 כדי למצוא אילו ערכי x אסורים.
פתור את המשוואה x² -4 ≠ 0 כדי למצוא אילו ערכי x אסורים.
- פישוט
השווה את החזקות הגבוהות ביותר במונה ובמכנה וקבע את גבול הפונקציה באינסוף
השווה את החזקות הגבוהות ביותר במונה ובמכנה וקבע את גבול הפונקציה באינסוף בצורת יחס
lim x-> ±∞ f(x) = 2/1 = 2_x f(x) = (2)/(1) = 2 - תוצאה
מסיימים בתשובה
סכם שהאסימפטוטות הן x=2, x=-2 אנכיות ו-y=2 אופקית.
- בדיקה
בדיקה קצרה
- פתרון תחום ההגדרה בצורה נכונה
- חישוב גבולות קרובים לנקודות אסימפטוטיות
- זהירות: שכחת להוציא מהתחום את נקודות האי-הגדרה
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
תחום ההגדרה
זיהוי נתונים
תחום ההגדרה
מה עושים
פתור את המשוואה x² -4 ≠ 0 כדי למצוא אילו ערכי x אסורים.
למה
נקודות אלו גורמות לחלוקה באפס ולכן לא שייכות לתחום ההגדרה.
מכאן x ≠ 2 ו-x ≠ -2.
2בחירת שיטה
אסימפטוטות אנכיות
בחירת שיטה
אסימפטוטות אנכיות
מה עושים
חישוב גבולות f(x) כאשר x שואף לנקודות 2 ו-(-2) מהצדדים השונים.
למה
גבולות לאינסוף חיובי או שלילי מצביעים על אסימפטוטות אנכיות.
בדוק: lim x->2+ f(x) lim x->2- f(x) lim x->-2+ f(x) lim x->-2- f(x)
שים לב לכיוון הגישה (מימין/משמאל).
3בניית משוואה
כתיבת גבולות אסימפטוטות אנכיות
בניית משוואה
כתיבת גבולות אסימפטוטות אנכיות
מה עושים
לכתוב ביטויי גבול למצב בציון שואף לאינסוף חיובי או שלילי.
למה
הניסוח המדויק עוזר לתפוס את ההתנהגות של הפונקציה.
למשל lim x->2+ f(x) = +∞ ; lim x->2- f(x) = -∞
נוסחה / הצבה
lim x-> 2+ f(x) = +∞lim x-> 2- f(x) = -∞lim x->2+ f(x) = +∞lim x->2- f(x) = -∞_x 2^+ f(x) = +4בחירת שיטה
אסימפטוטה אופקית
בחירת שיטה
אסימפטוטה אופקית
מה עושים
חשב את גבולות הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף חיובי ושלילי.
למה
גבול סופי באינסוף מציין אסימפטוטה אופקית.
חשב: lim x-> +∞ f(x) lim x-> -∞ f(x)
5פתרון
חישוב הגבול באינסוף
פתרון
חישוב הגבול באינסוף
מה עושים
השווה את החזקות הגבוהות ביותר במונה ובמכנה וקבע את גבול הפונקציה באינסוף בצורת יחס המקדמים.
למה
זה מאפשר לקבוע את ערך האסימפטוטה האופקית.
החזקה הגבוהה ביותר היא x², מקדם במונה 2, במכנה 1, לכן הגבול הוא 2.
נוסחה / הצבה
lim x-> ±∞ f(x) = 2/1 = 2_x f(x) = (2)/(1) = 26תשובה
מסקנה על האסימפטוטות
תשובה
מסקנה על האסימפטוטות
מה עושים
סכם שהאסימפטוטות הן x=2, x=-2 אנכיות ו-y=2 אופקית.
למה
זה סכם את כל הממצאים בעבודה.
אסימפטוטה אנכית ב-x=2 וב-x=-2; אסימפטוטה אופקית y=2.
פתרונות כלליים
- מציאת תחום ההגדרה: מכיוון שהמכנה הוא x² - 4, שווה לאפס כאשר x² = 4, כלומר x = 2 או x = -2. לכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-2 ול-(-2).
- חישוב גבולות לאסימפטוטות אנכיות: כש-x שואף ל-2 מימין, הפונקציה שואפת ל+∞ וכש-x שואף ל-2 משמאל, הפונקציה שואפת ל- -∞. לכן קיימת אסימפטוטה אנכית ב-x=2.
- מציאת אסימפטוטות אופקיות ונימוק מילולי: כיוון שהחזקות הגבוהות ביותר במונה ובמכנה שוות (2 עבור x² במונה ו-1 במכנה), הגבול כאשר x שואף ל-±∞ הוא יחס המקדמים, כלומר 2/1=2. לכן האסימפטוטה האופקית היא y=2.
- המבחן – מציאת אסימפטוטות לפונקציה נתונה: תחום ההגדרה: x שונה מ-2 ומ- -2. גבול מימין ל-2: הפונקציה שואפת ל+∞, וגבול משמאל ל-2 שואף ל- -∞ → אסימפטוטה אנכית ב-x=2. גבול מימין ומאלץ ל- -2: הפונקציה שואפת ל- -∞ ול+∞ בהתאמה → אסימפטוטה אנכית ב-x=-2. גבול באינסוף חיובי ושלילי: הגבול הוא 2 → אסימפטוטה אופקית y=2. נימוק מילולי: החזקות הגבוהות ביותר במונה ובמכנה שוות, ולכן הגבול באינסוף הוא יחס המקדמים 2/1=2. נקודות איפוס המכנה הן אסימפטוטות אנכיות.