בשיעור זה נלמד כיצד לפתור בעיות ערך קיצון בסיטואציות בהן יש תנאים הכוללים שני נעלמים וקשר ביניהם. נתרכז בזיהוי פונקציית המטרה, ביטוי הנעלמים בעזרת התנאים הנתונים, הפחתת פונקציית המטרה לנעלם יחיד וגזירתה למציאת נקודות מקסימום או מינימום.
להבין מהי בעיית ערך קיצון ואיך מגדירים פונקציית מטרה
לזהות נעלמים מתאימים ולנסח את הקשר ביניהם
לעבוד עם פונקציה של נעלם יחיד על ידי שימוש בתנאי הקשר בין נעלמים
לחשב נגזרת, לאפס אותה ולבדוק האם יש נקודת מקסימום או מינימום
לנסח את הפתרון המילולי המלא בהתאם לפונקציה ולתוצאות הגזירה
הגדרת בעיית ערך קיצון: בעיית ערך קיצון היא בעיה מילולית המתארת מצבים של מקסום או מזעור כמו שטחים, היקפים, עלויות או אורכים. בשלבים הראשונים מגדירים פונקציית מטרה ומניחים נעלמים.
עבודה עם שני נעלמים וקשר ביניהם: כאשר יש שני נעלמים, משתמשים בתנאי שקשור בין הנעלמים כדי להביע את פונקציית המטרה כנעלם יחיד. לאחר מכן מנגזרת ומוצאים נקודות קיצון.
בדיקת נקודות קיצון: לאחר גזירת הפונקציה ושוויון לאפס, מוצאים נקודות שמועמדות למקסימום או מינימום. באמצעות בדיקות ערכים בטווחים שמתקבלים מאמתים את סוג הנקודה.

תרגול קצר

מקסום המכפלה של שני מספרים הסכום שלהם 24

רמת קושי: קל

ממתין

סכום שני מספרים הוא 24. מצאו את שני המספרים כך שמכפלת המספר הראשון ב-העלייה השלישית של השני תהיה מקסימלית.

ערך קיצוןמקסימוםפונקציית מטרהנעלם יחיד

רמז: הגדר את המספרים x ו-y, כתוב את פונקציית המטרה, השתמש בתנאי סכום המספרים כדי להביע את x בעזרת y ושדרג את פונקציית המטרה לנעלם יחיד.

פתרון מלא

תשובה סופית: המספרים הם 6 ו-18, והמכפלה המקסימלית היא 34992.

נתון x+y=24, פונקציית המטרה היא f = x * y^3. מבודדים את x = 24 - y. נכפיל ונקבל f(y) = (24 - y) * y^3 = 24 y^3 - y^4. נגזור ונשווה לאפס: f'(y)=72 y^2 -4 y^3 = 4 y^2 (18 - y) = 0. y=0 או y=18. y=0 שולל. y=18 הוא מועמד לנקודת קיצון. דרך בדיקת תחומי עלייה וירידה סביב 18 מוודאים שמדובר במקסימום. לכן y=18, x=6. המכפלה היא 6*18^3=34992.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל מקסום מכפלה

כיצד למצוא שני מספרים סכומם 24 עם מכפלה מקסימלית של x כפול y בשלישית

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא את x ו-y שממקסמים את f = x * y^3
נתון 1
x, y - שני המספרים
נתון 2
נתון 2
x + y = 24
רעיון
הרעיון המרכזי
הבעה של x בעזרת y, הצבת פונקציית המטרה בנעלם יחיד, גזירה ואיפוס נגזרת למציאת מקסימום.
נוסחה
מסמנים x = 24 - y ומציבים בפונקציה.
f(y) = (24 - y) * y^3f(y) = (24 - y) * y^(3)f(y) = (24 - y) y^(3)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
מחושבת הנגזרת f'(y) = 24 * 3 * y^2 - 4 * y^3
מחושבת הנגזרת f'(y) = 24 * 3 * y^2 - 4 * y^3
f'(y) = 72 y^2 - 4 y^3f'(y) = 72 y^(2) - 4 y^(3)
תוצאה
מסיימים בתשובה
בודקים ערכי הפונקציה ב-17.9 ו-18.1 מוודאים שיורד אחרי ועליה לפני.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

גודרים את הנתונים והקשר ביניהם

מה עושים

מסכמים כי x ועוד y שווים ל-24.

למה

הקשר מאפשר להפחית את מספר המשתנים לפונקציה של נעלם אחד.

x + y = 24

בחירת שיטה

הגדרת פונקציית המטרה במונחי x ו-y

מה עושים

פונקציית המטרה היא f = x * y בחזקה 3.

למה

זו הכמות שאנו רוצים למקסם.

f(x,y) = x * y^3

נוסחה / הצבה

f = x * y^3f = x y^(3)

בניית משוואה

הבעת x בפונקציה של y

מה עושים

מסמנים x = 24 - y ומציבים בפונקציה.

למה

כדי לקבל פונקציה שמכילה רק משתנה אחד.

f(y) = (24 - y) * y^3

נוסחה / הצבה

f(y) = (24 - y) * y^3f(y) = (24 - y) * y^(3)f(y) = (24 - y) y^(3)

בודדים את x כדי לאפשר גזירה פשוטה.

פתרון

גזירת פונקציית המטרה לפי y

מה עושים

מחושבת הנגזרת f'(y) = 24 * 3 * y^2 - 4 * y^3

למה

כדי למצוא נקודות קיצון של הפונקציה.

f'(y) = 72 y^{2} - 4 y^{3}

נוסחה / הצבה

f'(y) = 72 y^2 - 4 y^3f'(y) = 72 y^(2) - 4 y^(3)

מציאת נקודות בהן הנגזרת שווה לאפס מתאימות לנקודות קיצון.

פתרון

פתרון f'(y) = 0

מה עושים

מצא y כך ש 4 y^2 (18 - y) = 0, כלומר y=0 או y=18.

למה

רק y=18 רלוונטי כי y=0 שולל.

4 y^{2} (18 - y) = 0

בדיקה

בדיקת עליה וירידה סביב y=18

מה עושים

בודקים ערכי הפונקציה ב-17.9 ו-18.1 מוודאים שיורד אחרי ועליה לפני.

למה

כדי לקבוע אם הנקודה היא מקסימום.

השימוש בערכים סמוכים מאפשר לזהות נקודת מקסימום.

פתרונות כלליים

מקסום המכפלה של שני מספרים הסכום שלהם 24: נתון x+y=24, פונקציית המטרה היא f = x * y^3. מבודדים את x = 24 - y. נכפיל ונקבל f(y) = (24 - y) * y^3 = 24 y^3 - y^4. נגזור ונשווה לאפס: f'(y)=72 y^2 -4 y^3 = 4 y^2 (18 - y) = 0. y=0 או y=18. y=0 שולל. y=18 הוא מועמד לנקודת קיצון. דרך בדיקת תחומי עלייה וירידה סביב 18 מוודאים שמדובר במקסימום. לכן y=18, x=6. המכפלה היא 6*18^3=34992.

הפריט הקודם הפריט הבא

א.1 בעיות קיצון עם מספרים

ניווט לפי נושאים

בעיות ערך קיצון

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא את x ו-y שממקסמים את f = x * y^3

x, y - שני המספרים

נתון 2

הרעיון המרכזי

מסמנים x = 24 - y ומציבים בפונקציה.

נבנה משוואה

מחושבת הנגזרת f'(y) = 24 * 3 * y^2 - 4 * y^3

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

גודרים את הנתונים והקשר ביניהם

הגדרת פונקציית המטרה במונחי x ו-y

הבעת x בפונקציה של y

גזירת פונקציית המטרה לפי y

פתרון f'(y) = 0

בדיקת עליה וירידה סביב y=18

פתרונות כלליים